Càlculo

Modulo I - Funciones

Función: Regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio)

En la imagen anterior se aprecia que a cada valor de “x” le corresponde un valor único en “y”, por lo que decimos que es una función

A continuación se mostrará una imagen donde se puede observar las relaciones y funciones con respecto a dos conjuntos:

Otros conceptos que es necesario aclarar es el “dominio” y el “rango” de una función”.

Dominio: Todos aquellos valores en “x” que pueden ser representados en la gráfica.

Rango: Todos aquellos valores en “x” que pueden ser representados en la gráfica.

Ejemplos:

Dada F(X)=3x-5 , determina si es función o relación, el dominio y el rango.

Para auxiliarnos pondremos la gráfica de la función el cual podemos realizarla por medio de una tabulación, el cual consiste en darle valores a “x” y obtener los valores en “y”. Por ejemplo:

“x” “y”

-3 -14

-2 -11

-1 -8

0 -5

1 -2

2 1

3 4

Otra manera de graficar de manera rapida es ubicar que F(X)=3x-5 es una ecuación de la recta de la forma y=mx+b donde F(X) representa a “y”, m es la pendiente de la recta el cual la podemos observar por la literal que acompaña a “x”, es decir, 3 y b, el cual representa el punto donde pasa por el eje de las “y” cuando x=0 y lo podemos observar por el valor de -5.

Por lo que ubicamos el punto b en el eje de las “y”.

Posteriormente nos guiamos por el valor de la pendiente, en este caso el valor es 3 y, como se vio en geometría analítica, la pendiente se puede calcular por medio de dos puntos, por lo que se dice que m=Y2-Y1 / X2-X1 , ahora buscamos la manera de que nuestro valor de la pendiente se parezca a la fórmula, el cual nos queda que m=1/3 donde 3 pertenece a Y2-Y1 y 1 pertenece a X2-X1 , por lo que ubicaremos 3 valores hacia arriba en el eje de las “y” y 1 en el eje de las “x”

Dados estos puntos podemos trazar una recta que pase por estos dos puntos.

En este caso se utilizó un graficador (geogebra) el cual quedo de la siguiente manera:

Gracias a la gráfica, podemos determinar que F(X)=3x-5 es una función, ya que a cada valor de “x” le corresponde un valor de “y”.

El dominio de la función “D” está dada por todos los números reales, es decir,que "x" pertenece a todos los números reales , ya que como vemos la función no tiene “fin”, ya que va desde menos infinito a infinto.

El rango de la función “R" está dada por todos los números reales (al igual que el dominio), es decir, "y" pertenece a todos los números reales , ya que como vemos la función no tiene “fin”, ya que va desde menos infinito a infinto.

Cabe mencionar que esta función corresponde a una algebraica (el cual se explicará la clasificación más adelante), y para estos casos, el dominio y el rango serán todos los números reales.

Dada determina si es relación o función, su dominio y rango.

Graficamos

Podemos observar que es una relación, ya que, por ejemplo, cuando el valor de “x” es 0, “y” toma los valores correspondientes en los puntos H y G.

Para obtener el dominio y el rango nos apoyaremos de la siguiente gráfica anterior

El dominio abarcara desde la posición de C hasta D con respecto a su valor en “x”, dicho de otra manera

D:(-3.12 ,1.17)

El rango abarcara desde la posición de E hasta F con respecto a su valor en “y”, en otras palabras

R:(-0.82,1.68)

Clasificación de funciones:

Algebraicas: Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Ejemplos:

Analizaremos las gráficas de las funciones anteriores:

Podemos deducir que:

Podemos ver que :

Para este caso tenemos una raíz cuadrada, y se sabe que no existen raíces negativas por lo cual, lo que tenemos dentro de la raíz es decir x-2, , no puede ser menor que 0, entonces tenemos que x-2 0 , despejamos “x”,entonces: x 2 entonces se deduce que el dominio es desde 2 hasta ∞.

Para estos casos, el rango lo podemos deducir rápidamente por el término independiente que no está afectada por la raíz cuadrada. En este caso tenemos donde el termino independiente es “+3”, por lo que el rango está definido de 3 hasta ∞.

Para determinar el dominio de esta función tenemos que ubicarnos en lo que hay en el denominador, es decir, en

x-3 , en el cual este valor tiene que ser diferente de 0. Entonces tenemos que x-3 0, despejamos a “x”,

Por lo tanto:

D:(-∞, 3)

R:(-∞, ∞)

Trascedentes: Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes

Entre las trascedentes están:

Trigonométricas:

Inversas trigonométricas:

Exponenciales:

Logarítmicas:

Explicitas: Es cuando la función está en términos de una variable, por ejemplo:

Implícitas: Es cuando ambas variables forman parte de la ecuación, por ejemplo:

Tema 3. Operaciones con funciones: adición,sustracción, multiplicación, composición y función inversa.

Adición

Dada las funciones

Solución: Se realiza la suma de estas dos funciones de la siguiente manera.

Sustracción:

Dadas las funciones anteriores,

Solución: El procedimiento es muy similar al anterior, únicamente aquí realizaremos la resta de las funciones

Nota: el signo negativo “-“está afectando a lo que está dentro del paréntesis.

Multiplicación.

Realice el producto de F(x)* g(x)

Nota: Para este caso tenemos el producto de dos binomios, es decir

No olvide que:

Recuerde que:

División:Efectúe

Ejemplo 1

Nota: En este caso racionalizamos el denominar, el cual consiste en multiplicarlo por el conjugado del binomio.

Recuerde: El dominio lo va a denotar el denominador, ya que tiene que ser diferente a 0.

Ejemplo 2:

Composición. Realice:

Función Inversa. , encontrar

Tenemos que:

Cambiamos el nombre de F(x) por Y

por Pasamos a multiplicar (5-x)

Efectuamos la multiplicación.

Pasamos de un lado todo lo que no tiene x y del otro lado lo que contenga a x. Procurar que x tenga signos positivos

Sacamos factor común a x

Pasamos a dividir 2+y

Aplicamos propiedad de cerradura (a=b, b=a)

Cambiamos las y por x, posteriormente a x le nombramos y.

Por lo tanto:

Comprobación:

Si escogemos la función y la evaluamos en 1, entonces , al evaluar la función inversa en , nos debe de dar 1 , es decir

Nota: si efectúan la composición de una funciónf(x) con su respectiva inversa, el resultado será x.

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Contenido General:

Modulo I - Funciones

1. Funciones: Concepto de función, dominio, rango y gráfica

2. Clasificación de funciones:

• Algebraicas y trascendentes

• Explicitas e implícitas

• Directas e inversas

3.Operaciones con funciones

• Adición

• Sustracción

• Multiplicación

• División

• Composición

• Función inversa

Modulo II - Límite y continuidad de funciones

1. Límites

Ideas intuitiva sobre el concepto de límite de una función
Limites laterales

2. Cálculo de límites

Límites cuando la variable tiende a un valor real.
Límites cuando la variable tiende a infinito.

4. Definición intuitiva de continuidad en un punto en términos de límites. Continuidad en un punto, en un intervalo y tipos de discontinuidad